PHƯƠNG TRÌNH HÀM
MỤC ĐÍCH YÊU CẦU:
Giúp cho học sinh hình thành được phương pháp giải một số phương trình hàm, biết đoán nhận các dạng và định hướng được phương pháp giải.

DẠNG 1: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
Ví dụ 1: Tìm hàm số f(x) biết rằng khi x ≠ 0 ta có

Giải : * Đặt t =
thì

Mặt khác, t =
Þ
. Ta có f(t) =
.
Vậy : f(x) =
Ví dụ 2 : Tìm hàm số f(x) xác định với mọi x thỏa điều kiện :
(u – v)f(u+v) – (u+v)f(u – v) = 4uv(u2 – v2)
Giải : * Đặt

u và v lấy giá trị bất kì thì x, y cũng lấy giá trị bất kì.
* Hệ thức đã cho trở thành :
y.f(x) – x.f(y) = xy(x2 – y2) (1)
( y[f(x) – x3] = x[f(y) – y3], "x, y
Vì vậy với mọi giá trị tùy ý khác 0 của x và y, ta có :

Þ
(hằng số), "x thỏa x ≠ 0
* Trong (1) cho x = 0, y = 1, ta có f(0) = 0
* Kết luận : f(x) = x3 + cx, "x.

DẠNG 2: ĐƯA VỀ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Ví dụ 1: Tìm hàm số f(x) thỏa với mọi x ≠ (
, ta có :

(1)
Giải : * Đặt : u – 1 =
thì x =

Khi đó (1) có thể viết :

Þ
Giải hệ :


Þ f(x – 1) =
Þ f(t) =

Vậy : f(x) =

Phép thử lại cho thấy hàm f(x) tìm được ở trên là thỏa đề.
Ví dụ 2: Tìm hàm f thỏa : f(x) + x.
= 2 , (x ≠
) (1)
Giải : * Đặt : t =

(1) (
Þ

Giải hệ phương trình :

(x ≠ 0)
Ta có :

* Nếu x ≠ 1 : f(x) =
(2)
* Nếu x = 1 : từ (1) ta có : f(1) + f(1) = 2 ( f(1) = 1.
Kiểm tra với x = 0 :
(2) cho : f(0) = 2
(1) cho : f(0) = 2
* Kết luận : Hàm f là hàm số định bởi :
f(x) =

Chú ý : t =

Þ Hàm đối hợp



DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP THAY GIÁ TRỊ ĐẶC BIỆT
Ví dụ 1: Tìm hàm f biết : f(x + y) + f(x – y) = 2f(x).cosy , "x, y ( R
Giải : * Chọn x = 0, y = t ta được : f(t) + f(-t) = 2f(0).cost (1)
Chọn : x =
, y =
, ta có : f(( + t) + f(-t) = 2

=

Chọn : x =
, ta có :f(( + t) + f(t) = 0 (3)
Lấy (1) – (2) + (3) , ta được : 2f(t) = 2f(0).cost + 2

( f(t) = f(0).cost +

Vậy : f(x) = acosx + bsinx, với f(0) = a và f(
) = b
Ví dụ 2 : Tìm hàm f biết : a) f(x) + f(x + 1) = 1, "x (R (1)
b) 0 < x < 1 Þ f(x) = x (2)
Giải : Từ a) ta có : f(x + 1) + f(x + 2) = 1 (3)
(1) và (3) cho : f(x + 2) = f(x) , "x
Þ f tuần hoàn với ch kỳ là 2, do đó chr cần tìm f trên [0 ; 2]
* Xét 0 £ x £ 1 : Đặt t = x + 1 thì 1 £ t £ 2. Từ a) và b) cho :
x